結論から言うと、一部解決しました。
Edgeのハードウェアアクセラレータをオフにしたら、放送用ツールを立ち上げた瞬間だけ動画が止まりますが、ブラウザをリロードするとその後は快適に動画が再生されました。
いや今日これが原因かなと思ってやってみたら、やっぱりそうだったという……。

なお「放送用ツールを立ち上げた瞬間だけ動画が止まる」のはFireFoxでも同じでした。