ここでは、解説のために「f PTO(ZFC)+1(2)」を使います。

急増加関数f PTO(ZFC)+1(2)は、実際には「f PTO(ZFC)(f PTO(ZFC)(2))」までしか展開できません。順序数「PTO(ZFC)」を展開できる定義がないからです。

この「PTO(ZFC)」は「ZFC公理系でその整列性が証明できない最小の順序数」を意味します。例えば「PTO(PA)」ならば「ペアノ公理でその整列性が証明できない最小の順序数」となり「ω^ω^ω^ω^ω^…∞」であり、カントール標準形（基本列はワイナー階層）で展開することが出来ます。しかし「PTO(ZFC)」に到達したシステムは現存します。P進大好きBotの「巨大数屋敷」です。

では f PTO(ZFC) (n)がどれくらい強いのかと言うと、仮にバシク行列システムの停止性をZFCで証明がかのうであれば f PTO(ZFC) (n)の強さを持つ関数（例えば巨大数屋敷）はそれよりも強いということになる。

つまり f PTO(ZFC)+1(18)円はものすごくでかい。